以下，正方行列 A に対して |A| は行列式を表し， A

２００７年線形代数 I 期末試験問題 2007^年8^月10^日(^金)^実施

(^注意)

• 解答は解答用紙に書くこと．

• 解答用紙には学籍番号，氏名を忘れずにかくこと．

• 解答は結果だけでなく，それに至る過程を記述すること．結果のみの解答の場合その問の得点 は0 ^{点とする．}

以下，正方行列 A に対して |A| は行列式を表し， A

^k

は A の k 個の積を表す． E

n

は n 次の単位行列を表す．O は零行列を表す．

1. 次の連立方程式を考える．

2x + 3y + z + w = −3 x + 2w = 3 5y + z − 3w = −13

−x − 3y − 2w = 3

解がただ一つならばその解を求めよ．解が無数ならば具体的に５つ解を与えよ．解が なければ解なしと答えよ．

2. つぎの行列式の値を求めよ．

2 5 0 1 0

−3 1 −4 3 2

1 2 1 −1 −1

4 −1 6 5 3

−1 0 1 −2 5

3. 次の行列の逆行列を求めよ．

⎛

⎜ ⎝

10 4 −6 8 15 5

−3 −1 2

⎞

⎟ ⎠

4. n 次正方行列 A について次の問に答えよ．

(a) A

²

+ A + E

n

= O をみたすとき A は正則であることを示し，A の逆行列を求めよ．

(b) A

²

= O のとき， A は正則であるか？

(c) ３次正方行列 A を繰り返し行基本変形する．このとき，

A →→→ · · · →

⎛

⎜ ⎝

2 −2 −1

4 0 0

−3 2 1

⎞

⎟ ⎠

となった． |A| = 0 を示せ．

(d) AX = E

n

ならば XA = E

n

を示せ．つまり

A が正則 ⇐⇒ AX = E

n

をみたす n 次正方行列 X が存在する を示せ．

K.U.

[ 解答例 ] 1.

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝ x y z w

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ = t

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝

−2 0 3 1

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ +

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝ 3

−2

−3 0

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠

特に t = 0, ±1, ±2 とおくと

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝ 3

−2

−3 0

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ ,

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝ 1

−2 0 1

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ ,

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝

−1

−2 3 2

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ ,

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝ 5

−2

−6

−1

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ ,

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝ 7

−2

−9

−2

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠

2. 855

3. はき出し法，余因子行列を作る方法，いずれにしても逆行列は

⎛

⎜ ⎝

35/4 −1/2 55/2

−31/4 1/2 −49/2 37/4 −1/2 59/2

⎞

⎟ ⎠

4. (a) 与式より

A(−A − E

n

) = (−A − E

n

)A = E

n

であるから A は正則で， A

⁻¹

= −A − E

n

.

(b) |A

²

| = |O| = 0, |A

²

| = |A|

²

より，|A|

²

= 0. ゆえに |A| = 0. A は正則ではない．

(c) 条件よりある基本行列 F

1

, F

2

, . . . , F

があって F

· · · F

2

F

1

A =

⎛

⎜ ⎝

2 −2 −1

4 0 0

−3 2 1

⎞

⎟ ⎠

ここで

2 −2 −1

4 0 0

−3 2 1 = 0 であることが計算でわかるから，

|F

· · · F

2

F

1

A| = 0, ∴ |F

| · · · |F

2

||F

1

||A| = 0.

基本行列は正則なので |F

j

| = 0. よって |A| = 0 でなければならない．

(d) AX = E

_n

より |AX| = |E

_n

| = 1 = 0. よって |X| = 0 で X は正則．X

⁻¹

が存在 する．

XA = XAE

_n

= XA(XX

⁻¹

) = X(AX)X

⁻¹

= XE

_n

X

⁻¹

= E

_n

K.U.